Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Vertausche die Seiten um $\frac{d y}{d x}$ auf die linke Seite zu haben.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

Schritt 1.4

Entferne unnötige Klammern.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ als $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ um.

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombinieren.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

Schritt 3.2.2.1.4

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

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Schritt 3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 3.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 3.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 3.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 3.4.5.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 3.4.5.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.5.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 3.4.5.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 3.4.5.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

Schritt 3.4.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$