Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ und $y (5) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (10 x - 9) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $5$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ ersetzt wird.

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ um.

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $5$ mit $5^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$125 - 45 + K = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $45$ von $125$ .

$80 + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $80$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 80$

Schritt 5

Setze $- 80$ für $K$ in $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 80$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$