Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + y$ .

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(1 + y) d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 + y d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

Schritt 3.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

Schritt 3.4.3

Bewege $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Schritt 3.4.4

Stelle $y^{2}$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - x^{2} - 2 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x^{2} + 8 K$ heraus.

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Schritt 3.7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8 K$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.7

Schreibe $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ als $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ um.

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Schritt 3.7.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.7.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$