Analysis Beispiele

$x^{3} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{3}}{2 y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{2 y}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \frac{x^{3}}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{3}}{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x^{3} d x)$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} x^{4} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{4}}{8}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{8} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 (4)} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 \cdot 4} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{- x^{4}}{4} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $2 K$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 2 K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 8 K}{4}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\frac{- x^{4} + 8 K}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)$ um.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- x^{4} + 8 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{4}}$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)}$

Schritt 3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 8 K}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- x^{4} + 8 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$