Analysis Beispiele

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x (2 x^{2} + y^{2})$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.4

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Schritt 1.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y (x^{2} + 2 y^{2})$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Schritt 2.5

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Schritt 2.6.3

Stelle die Faktoren von $2 y x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y = 2 x y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x y = 2 x y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Multipliziere $x (2 x^{2} + y^{2})$ aus.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Schritt 5.1.2

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Schritt 5.1.3

Stelle $x$ und $2$ um.

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Schritt 5.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Schritt 5.1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Schritt 5.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Schritt 5.5

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Schritt 5.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8

Vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.8.4

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.9

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.2.2

Da $\frac{1}{2} x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.3.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Schritt 9.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 9.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Schritt 9.1.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Schritt 9.1.1.5

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Schritt 9.1.1.5.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 9.1.1.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Schritt 9.1.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Schritt 9.1.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Schritt 9.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

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Schritt 9.1.2.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y x^{2}$ und $- x^{2} y$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Schritt 9.1.2.2.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Schritt 9.1.2.2.3

Addiere $2 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ als $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ um.

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$