Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + 3 x + 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{2} + 3 x + 2) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

Schritt 2.3.6.3

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$