Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$