Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 - 3 y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 - 3 y}$ .

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 3 y} (2 - 3 y)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 3 y} (2 - 3 y)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{2 - 3 y} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{2 - 3 y} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 - 3 y$ . Dann ist $d u = - 3 d y$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 - 3 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 - 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 3 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $2 - 3 y$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) = x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |)) = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 2 - 3 y |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - 3 y |)}{3}) = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 2 - 3 y |)}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 2 - 3 y |)$ mit $1$ .

$\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 x - 3 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 2 - 3 y |)} = e^{- 3 x - 3 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 x - 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x - 3 C} = | 2 - 3 y |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 2 - 3 y | = e^{- 3 x - 3 C}$ um.

$| 2 - 3 y | = e^{- 3 x - 3 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 - 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{3} + \frac{- 2}{- 3}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C} + 2}{3}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x + C} + 2}{3}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 3 x + C}$ als $e^{- 3 x} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x} e^{C} + 2}{3}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 3 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 3 x} + 2}{3}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{- 3 x} + 2}{3}$