Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ ersetzt wird.

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ um.

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ als ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Schritt 6.3.2.1.3

Addiere $0$ und $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Schritt 6.3.2.1.4

Vereinfache.

$K = 2^{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$K = 8$

Schritt 7

Setze $8$ für $K$ in $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $8$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Schritt 7.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Schritt 7.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$