Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 2 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 2 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{5} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + K$