Analysis Beispiele

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Wenn $v = \frac{d y}{d x}$ . Dann $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Setze $v$ für $\frac{d y}{d x}$ ein und $\frac{d v}{d x}$ für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , um eine Differentialgleichung mit der abhängigen Variablen $v$ und unabhängigen Variablen $x$ zu erhalten.

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \frac{d v}{d x} = - v$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \frac{d v}{d x} = - v$ durch $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v}$ in den Zähler.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Schritt 3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C_{3}$ zusammen.

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Schritt 4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.1

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Schritt 4.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ um.

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Schritt 4.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ als $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ um.

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Schritt 5.2

Stelle $e^{- \frac{x}{4}}$ und $e^{C_{3}}$ um.

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 6

Ersetze alle $v$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 7

Schreibe die Gleichung um.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Schritt 8

Integriere beide Seiten.

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Schritt 8.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Schritt 8.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Da $C_{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $C_{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Schritt 8.3.2

Sei $u = - \frac{x}{4}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{4} d x$ , folglich $- 4 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.3.2.1

Es sei $u = - \frac{x}{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Differenziere $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Schritt 8.3.2.1.2

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 8.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 8.3.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Schritt 8.3.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{4}$ zu dividieren.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Schritt 8.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Schritt 8.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Schritt 8.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Schritt 8.3.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Schritt 8.3.6

Vereinfache.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Schritt 8.3.7

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Schritt 8.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Schritt 8.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Schritt 8.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$