Analysis Beispiele

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.4

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $2 y x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren von $2 y x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = 2 x y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = 2 x y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x y$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} y + 4 y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} y + 4 y$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $2 x y$ von $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y + 4 y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot 4$ heraus.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Schritt 5.4

Sei $u = x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.4.1

Es sei $u = x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 5.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 5.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 5.4.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 5.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 5.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Schritt 5.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 5.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Schritt 5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1

Vereinfache $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.11.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Schritt 5.11.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x$ mit $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} y + 4 y$ mit $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} y + 4 y$ mit $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y + 4 y$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot 4$ heraus.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Schritt 11.3

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{x}{x^{2} + 4}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 12.3

Sei $u = x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 12.3.1

Es sei $u = x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 12.3.1.1

Differenziere $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Schritt 12.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 12.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 12.3.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 12.3.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 12.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 12.4

Vereinfache.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 12.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Schritt 12.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 12.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 12.7

Vereinfache.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 12.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Schritt 13

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Schritt 14

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Schritt 14.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14.2

Um $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 14.3

Kombiniere $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1

Multipliziere $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Schritt 14.5.1.1

Stelle $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ und $2$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Schritt 14.5.1.2

Vereinfache $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 14.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 14.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Schritt 14.5.3

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$