Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 5 \sqrt{t}$ , $y (1) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 5 \sqrt{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 5 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 5 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 \int \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = 5 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ als $5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $5$ für $y$ in $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ ersetzt wird.

$5 = \frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 5$ um.

$\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{10}{3} \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $1$ .

$\frac{10}{3} + K = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{10}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 - \frac{10}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{5 \cdot 3 - 10}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$K = \frac{15 - 10}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $10$ von $15$ .

$K = \frac{5}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{5}{3}$ für $K$ in $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{5}{3}$ .

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{10}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{5}{3}$