Analysis Beispiele

$\frac{d R}{d x} = a (R^{2} + 9)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{R^{2} + 9}$ .

$\frac{1}{R^{2} + 9} \frac{d R}{d x} = \frac{1}{R^{2} + 9} (a (R^{2} + 9))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $R^{2} + 9$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $R^{2} + 9$ aus $a (R^{2} + 9)$ heraus.

$\frac{1}{R^{2} + 9} \frac{d R}{d x} = \frac{1}{R^{2} + 9} ((R^{2} + 9) a)$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{R^{2} + 9} \frac{d R}{d x} = \frac{1}{R^{2} + 9} ((R^{2} + 9) a)$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{R^{2} + 9} \frac{d R}{d x} = a$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{R^{2} + 9} d R = a d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{R^{2} + 9} d R = \int a d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $R^{2}$ und $9$ um.

$\int \frac{1}{9 + R^{2}} d R = \int a d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\int \frac{1}{3^{2} + R^{2}} d R = \int a d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{3^{2} + R^{2}}$ nach $R$ ist $\frac{1}{3} \arctan (\frac{R}{3}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{R}{3}) + C_{1} = \int a d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arctan (\frac{R}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{R}{3})}{3} + C_{1} = \int a d x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{R}{3})}{3} + C_{1}$ als $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) + C_{1}$ um.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) + C_{1} = \int a d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) + C_{1} = a x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) = a x + K$

Schritt 3

Löse nach $R$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) = a x + K$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) = a x + K$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} R) \cdot 3 = a x \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $R$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{R}{3}) \cdot 3 = a x \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\arctan (\frac{R}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{R}{3})}{3} \cdot 3 = a x \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (\frac{R}{3})}{3} \cdot 3 = a x \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{R}{3}) = a x \cdot 3 + K \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a x$ .

$\arctan (\frac{R}{3}) = 3 \cdot (a x) + K \cdot 3$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$\arctan (\frac{R}{3}) = 3 a x + 3 K$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $R$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$\frac{R}{3} = \tan (3 a x + 3 K)$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{R}{3} = 3 \tan (3 a x + 3 K)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{R}{3} = 3 \tan (3 a x + 3 K)$

Schritt 3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$R = 3 \tan (3 a x + 3 K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$R = 3 \tan (3 a x + K)$