Analysis Beispiele

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{3} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{3}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $6 x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Faktoren von $6 x y^{2}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

Schritt 2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- \frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $6 y^{2} x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 y^{2} x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 y^{2} x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

Schritt 5.2

Da $2 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $3 x^{2} y^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 9.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 9.1.2.2.1

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Schritt 9.1.2.2.2

Addiere $- \frac{1}{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 10.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$