Analysis Beispiele

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{4} + 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{3}$ nach $x$ gleich $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.4

Da $2 y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Schritt 2.6

Addiere $y^{3}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 y^{3} + 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y^{3} - 4$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y^{3} - 4$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 y^{3} + 2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y^{4} + 2 y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{4} + 2 y$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $4 y^{3}$ von $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{3} - 6$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{4} + 2 y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- y^{3} - 2$ und $y^{3} + 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3}) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (y^{3} + 2)$ als $- 1 (y^{3} + 2)$ um.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Schritt 4.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Schritt 4.3.6

Ersetze $M$ durch $y^{4} + 2 y$ .

$- \frac{3}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| y |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{4} + 2 y$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y^{4} + 2 y$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{4} + 2 y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ heraus.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Schritt 8.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Schreibe $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ als $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y^{3} x + 2 x$ und $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x + 2 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.5

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.8

Addiere $3 x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.9

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.9.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.9.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.12

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 11.3.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.13

Faktorisiere $y$ aus $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ heraus.

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Schritt 11.3.13.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y^{4} x$ heraus.

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.13.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ heraus.

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.13.3

Faktorisiere $y$ aus $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ heraus.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.14.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5.2.2

Subtrahiere $2 y^{3} x$ von $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5.2.4

Um $\frac{d g}{d y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Schritt 12.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Schritt 12.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

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Schritt 12.1.2.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{3}$ und $- y^{3} x$ neu an.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Schritt 12.1.2.3.2

Subtrahiere $y^{3} x$ von $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Schritt 12.1.2.3.3

Addiere $2 y^{4} - 4 x$ und $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Schritt 12.1.2.3.4

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Schritt 12.1.2.3.5

Addiere $2 y^{4}$ und $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Schritt 12.1.3

Teile jeden Ausdruck in $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ durch $y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ durch $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Schritt 12.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 12.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Schritt 12.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Schritt 12.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{4}$ und $y^{3}$ .

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Schritt 12.1.3.3.1.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $2 y^{4}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Schritt 12.1.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.3.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Schritt 12.1.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Schritt 12.1.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Schritt 12.1.3.3.1.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Schritt 13.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{3} x + 2 x$ heraus.

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Schritt 15.1.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{3} x$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Schritt 15.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Schritt 15.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x y^{3} + x \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Schritt 15.2

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.4.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Schritt 15.4.3.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$