Analysis Beispiele

$\frac{d u}{d x} = 6 x^{5} - 3 x^{2} + 9$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d u = (6 x^{5} - 3 x^{2} + 9) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d u = \int 6 x^{5} - 3 x^{2} + 9 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$u + C_{1} = \int 6 x^{5} - 3 x^{2} + 9 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$u + C_{1} = \int 6 x^{5} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 9 d x$

Schritt 2.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$u + C_{1} = 6 \int x^{5} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 9 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$u + C_{1} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 9 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$u + C_{1} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 9 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$u + C_{1} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 9 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$u + C_{1} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 9 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$u + C_{1} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 9 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$u + C_{1} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 9 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$u + C_{1} = x^{6} - x^{3} + 9 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$u = x^{6} - x^{3} + 9 x + K$