Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ , wobei $f (2 π) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y \sin (x)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ um.

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \cos (x) + C}$ als $e^{- \cos (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \cos (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \cos (x)}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $2 π$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = C e^{- \cos (x)}$ ersetzt wird.

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ um.

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$C e^{- \cos (0)} = 1$

Schritt 6.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $C e^{- 1} = 1$ durch $e^{- 1}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{- 1} = 1$ durch $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Bringe $e^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Schritt 7

Setze $e$ für $C$ in $y = C e^{- \cos (x)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $e$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $e$ mit $e^{- \cos (x)}$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = e^{1 - \cos (x)}$