Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + 2 - V$ .

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Schritt 5.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Schritt 5.1.1.1.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 2$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 2$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Schritt 5.1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 7.2.2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2}) x + C x$ um.

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Schritt 7.2.2.1.2.2.2

Stelle $x \ln (x^{2})$ und $C x$ um.

$y = C x + x \ln (x^{2})$