Analysis Beispiele

$(2 x + x^{3} + 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x + x^{3} + 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x^{3} + 3 y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + x^{3} + 3 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 1.2.3

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Schritt 1.4.2

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x + 2 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 2 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $3$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 = 3$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 = 3$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x + 2 y d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 3 x + 2 y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x d y + \int 2 y d y$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 3 x y + C + \int 2 y d y$

Schritt 5.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 \int y d y$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 x y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 3 x y + 1 y^{2} + C$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} + g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y + y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$3 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Addiere $3 y$ und $0$ .

$3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 2 x + x^{3} + 3 y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $3 y$ von $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 x + x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 x + x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + x^{3} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + x^{3} d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 2 x d x + \int x^{3} d x$

Schritt 10.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int x^{3} d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{3} d x$

Schritt 10.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 10.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (x) = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$