Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $- 4 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Schritt 2.5

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- x} + 4$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{- x}$ heraus.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ heraus.

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $4 (e^{- x} + 1)$ als $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ um.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Schritt 3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Schritt 3.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$