Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x = 5$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 5 - 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (5 - 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 5 - 2 x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 5 - 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} - 2 \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 5 x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 5 x - x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - x^{2} + 5 x + K$