Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ ersetzt wird.

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ um.

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $0$ .

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

Schritt 4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

Schritt 4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$