Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} - 4 x y = 5 x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $4 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 5 x + 4 x y$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{4 x y}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 (2 x y)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + \frac{2 x y}{1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.4

Dividiere $2 x y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2} + 2 x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{5 x}{2} + 2 x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{5 x}{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + 2 x y$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5}{2} + x (2 y)$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \frac{5}{2} + x (2 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y)$

Schritt 1.2.2

Um $2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + 2 y \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $2 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{5}{2} + \frac{2 y \cdot 2}{2})$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 2 y \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{5 + 4 y}{2}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2}{5 + 4 y}$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} (x \frac{5 + 4 y}{2})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{5 + 4 y}{2}$ .

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 + 4 y} \cdot \frac{x (5 + 4 y)}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} (x (5 + 4 y))$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 + 4 y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $5 + 4 y$ aus $x (5 + 4 y)$ heraus.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 4 y} ((5 + 4 y) x)$

Schritt 1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5 + 4 y} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2}{5 + 4 y} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{5 + 4 y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = 5 + 4 y$ . Dann ist $d u = 4 d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = 5 + 4 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $5 + 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + 4 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 4 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [4 y]$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [4 y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4$

Schritt 2.2.2.1.4

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{4 u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $5 + 4 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 5 + 4 y |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 5 + 4 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 5 + 4 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 5 + 4 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 5 + 4 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 5 + 4 y |) = x^{2} + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 5 + 4 y |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ um.

$| 5 + 4 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$5 + 4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 5}{4}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 5}{4}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{x^{2} + C}$ als $e^{x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 5}{4}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 5}{4}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 5}{4}$