Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $1 + t$ .

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $1 - x$ aus $(1 + t) (1 - x)$ heraus.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\ln (| 1 - x |)$ durch $1$ .

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ als $- (\frac{1}{2} t^{2})$ um.

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot t$ als $- t$ um.

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

Schritt 3.1.3.1.7

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

Schritt 3.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ um.

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Um $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.2

Um $\frac{- 1}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Schreibe $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ als $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ um.

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.6

Dividiere $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ durch $1$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ als $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ um.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ und $e^{C}$ um.

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$