Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (x) (y + 3)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (2 \sec^{2} (x) (y + 3))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y + 3$ aus $\sec^{2} (x) (y + 3)$ heraus.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 3} d y = 2 \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int 2 \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.3.2

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\tan (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \tan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 3 |) = 2 \tan (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{2 \tan (x) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y + 3 |) = 2 \tan (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 \tan (x) + C} = | y + 3 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y + 3 | = e^{2 \tan (x) + C}$ um.

$| y + 3 | = e^{2 \tan (x) + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{2 \tan (x) + C}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{2 \tan (x) + C} - 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{2 \tan (x) + C}$ als $e^{2 \tan (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{2 \tan (x)} e^{C} - 3$

Schritt 4.2

Stelle $e^{2 \tan (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{2 \tan (x)} - 3$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{2 \tan (x)} - 3$