Analysis Beispiele

$\frac{d p}{d t} = 0.2 p - 10$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{0.2 p - 10}$ .

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{0.2 p - 10} (0.2 p - 10)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.2 p - 10$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{0.2 p - 10} (0.2 p - 10)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{0.2 p - 10} d p = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{0.2 p - 10} d p = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 0.2 p - 10$ . Dann ist $d u = 0.2 d p$ , folglich $\frac{1}{0.2} d u = d p$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 0.2 p - 10$ . Ermittle $\frac{d u}{d p}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{0.2}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $0.2$ durch $1$ .

$0.2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{5}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $0.2 p - 10$ .

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$ durch $5$ .

$\frac{5 \ln (| 0.2 p - 10 |)}{5} = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \ln (| 0.2 p - 10 |)}{5} = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| 0.2 p - 10 |)$ durch $1$ .

$\ln (| 0.2 p - 10 |) = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

Schritt 3.2

Um nach $p$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 0.2 p - 10 |)} = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| 0.2 p - 10 |) = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} = | 0.2 p - 10 |$

Schritt 3.4

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 0.2 p - 10 | = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$ um.

$| 0.2 p - 10 | = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$0.2 p - 10 = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$ durch $0.2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$ durch $0.2$ .

$\frac{0.2 p}{0.2} = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.2$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.2 p}{0.2} = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $p$ durch $1$ .

$p = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$p = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{5}})}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2$ heraus.

$p = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3.1.4

Separiere Brüche.

$p = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{1} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3.1.5

Dividiere $1$ durch $0.2$ .

$p = 5 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{1} + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3.1.6

Dividiere $\pm e^{\frac{t + C}{5}}$ durch $1$ .

$p = 5 (\pm e^{\frac{t + C}{5}}) + \frac{10}{0.2}$

Schritt 3.4.4.3.1.7

Dividiere $10$ durch $0.2$ .

$p = 5 (\pm e^{\frac{t + C}{5}}) + 50$