Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{10 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{10 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $10 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 10}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 10}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{10}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x}{10} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x}{10} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{10} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{10} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{20} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{20} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{20} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{20} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{20} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{20} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{20} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{20}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{20} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{20} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (10)} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 10} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{10} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{10} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{10} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{10} + 2 K \cdot \frac{10}{10}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $2 K$ und $\frac{10}{10}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{10} + \frac{2 K \cdot 10}{10}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K \cdot 10}{10}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 20 K}{10}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{2} + 20 K}{10}}$ als $\frac{\sqrt{x^{2} + 20 K}}{\sqrt{10}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K}}{\sqrt{10}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + 20 K}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + 20 K}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 3.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 20 K} \sqrt{10}}{10}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 20 K) \cdot 10}}{10}$

Schritt 3.4.9

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 20 K) \cdot 10}}{10}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{2} + 20 K)}}{10}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{10 (x^{2} + K)}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (x^{2} + K)}}{10}$