Analysis Beispiele

$(x + 2 y^{3}) d x + 6 x y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + 2 y^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{3}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (3 y^{2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 y^{2}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $6 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 6 x y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y^{2}]$

Schritt 2.2

Da $6 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y^{2}$ nach $x$ gleich $6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 y^{2} = 6 y^{2}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$6 y^{2} = 6 y^{2}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y^{2} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 6 x y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $6 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $6 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 6 x \int y^{2} d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $6 x (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$ um.

$f (x, y) = 6 x \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = x \frac{6}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 6}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{6 \cdot x}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $x$ .

$f (x, y) = \frac{6 x}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.3.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 (1)} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{2 x}{1} y^{3} + C$

Schritt 5.3.2.5.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + 2 y^{3}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3} + g (x)] = x + 2 y^{3}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $2 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{3}$ nach $x$ gleich $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + 2 y^{3}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y^{3} + \frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3}$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} = x + 2 y^{3}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 y^{3} - 2 y^{3}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $2 y^{3}$ von $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x y^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x y^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$