Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t + 1}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t + 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = (3 t + 1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int 3 t + 1 d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t + 1 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t d t + \int d t$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t d t + \int d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 t^{2}}{2} + t + C_{4}$

Schritt 2.3.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{2} t^{2} + t + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $t^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{3 t^{2}}{2} + t + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 3 t^{2} + 2 t + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$