Analysis Beispiele

$(3 x^{2} - 2 y^{2}) d y - 2 x y d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - 2 x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 2.2

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 y^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $- 2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x = 6 x$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 x = 6 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $6 x$ .

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 x$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- 2 x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- 2 x y$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x - (- 2 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 6 - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- (- 2 x)$ heraus.

$\frac{x \cdot 6 + x (- (- 2))}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 6 + x (- (- 2))$ heraus.

$\frac{x (6 - (- 2))}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x (6 + 2)}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{- 2 y}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $- 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (4)}{- 2 y}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (4)}{2 (- y)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (- y)}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{- y}$

Schritt 5.3.5

Ersetze $M$ durch $- 2 x y$ .

$- \frac{4}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| y |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{4}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 2 x y$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- 2 x y \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y (- 2 x) \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x \frac{1}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $3 x^{2} - 2 y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $3 x^{2} - 2 y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - \frac{2 x}{y^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Schritt 9.2

Da $\frac{2}{y^{3}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{y^{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{2}{y^{3}} \int x d x)$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \int x d x$

Schritt 9.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.5.1

Schreibe $- \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.5.2

Vereinfache.

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Schritt 9.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Schritt 9.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Schritt 9.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} x^{2} + C$

Schritt 9.5.2.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ nach $y$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{3}}$ als ${(y^{3})}^{- 1}$ um.

$- x^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{3}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{3}$ .

$- x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{3}$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- x^{2} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7

Multipliziere $y^{- 6}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$- x^{2} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{4}}$ .

$x^{2} \frac{3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.5.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.5.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} - \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2} - 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2}) - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y^{4}$ .

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Schritt 13.1.1.6.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.6.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{4}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $\frac{2}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{2}{y^{2}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Schritt 14.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 14.6

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 14.7

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 14.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 14.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Schritt 14.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Schritt 14.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.9.1

Schreibe $- 2 (- y^{- 1} + C)$ als $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ um.

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Schritt 14.9.2

Vereinfache.

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Schritt 14.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Schritt 14.9.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{2}{y} + C$