Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 4$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 4 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{4 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{4 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ um.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Schritt 6.5

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.5.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 6.5.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Schritt 6.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 6.7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.8

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Schritt 6.10

Schreibe $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ als $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ um.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 6.11

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 6.12

Vereinfache.

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Schritt 6.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 6.12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 6.12.1.3

Kombiniere $e^{4 x}$ und $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.12.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{4 x}}{16}$ in den Zähler.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Schritt 6.12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Schritt 6.12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Schritt 6.12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Schritt 6.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Schritt 6.13

Stelle die Terme um.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ durch $e^{4 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ durch $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{2} x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 x}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Dividiere $- \frac{1}{8}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von $\frac{1}{2} x$ .

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Schritt 7.3.2.1

Stelle $\frac{1}{2}$ und $x$ um.

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.2.2

Um $x \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $x \frac{1}{2}$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.4

Um $\frac{4 x - 1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 7.3.5

Um $\frac{C}{e^{4 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 7.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8 e^{4 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{4 x - 1}{8}$ mit $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 7.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{4 x}}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

Schritt 7.3.6.3

Stelle die Faktoren von $e^{4 x} \cdot 8$ um.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Schritt 7.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Schritt 7.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Schritt 7.3.8.2

Schreibe $- 1 e^{4 x}$ als $- e^{4 x}$ um.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Schritt 7.3.8.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$