Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{x - t}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{x - t}$ .

$\frac{d x}{d t} = v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d t}$ durch Differenzierung von $e^{x - t}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = x - t$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d t} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Schritt 3

Ersetze $e^{x - t}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Schritt 5

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1

Löse nach $\frac{d v}{d t}$ auf.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Schritt 5.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Schritt 5.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Schritt 5.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.2.1

Vereinfache $(v - 1) v$ .

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Schritt 5.1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Schritt 5.1.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Schritt 5.1.3.2.1.2.2

Schreibe $- 1 v$ als $- v$ um.

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2} - v$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Schritt 6

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Schritt 6.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 6.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 6.2.1.1.1

Faktorisiere $v$ aus $v^{2} - v$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Faktorisiere $v$ aus $v^{2}$ heraus.

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- v$ heraus.

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Schritt 6.2.1.1.1.3

Faktorisiere $v$ aus $v \cdot v + v \cdot - 1$ heraus.

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Schritt 6.2.1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 6.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v - 1$ .

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Schritt 6.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 6.2.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.1.2

Dividiere $A (v - 1)$ durch $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v - 1$ .

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Schritt 6.2.1.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.1.6.5.2

Dividiere $B v$ durch $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Schritt 6.2.1.1.7

Bewege $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 6.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $v$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 6.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $v$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A$

Schritt 6.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Schritt 6.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 6.2.1.3.1

Löse in $1 = - 1 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 6.2.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 A = 1$ um.

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.1.3.1.2.2.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1.3.1.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Schritt 6.2.1.3.3

Löse in $0 = - 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 6.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + B = 0$ um.

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Schritt 6.2.1.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Schritt 6.2.1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = - 1$

Schritt 6.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = - 1$

Schritt 6.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Schritt 6.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Schritt 6.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Schritt 6.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Schritt 6.2.4

Das Integral von $\frac{1}{v}$ nach $v$ ist $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Schritt 6.2.5

Sei $u_{2} = v - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d v$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.2.5.1

Es sei $u_{2} = v - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Schritt 6.2.5.1.1

Differenziere $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Schritt 6.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v - 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 6.2.5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Schritt 6.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Schritt 6.2.7

Vereinfache.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Schritt 6.2.8

Stelle die Terme um.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Schritt 6.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Schritt 7

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Schritt 7.2

Stelle $t$ und $C$ um.

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Schritt 7.3

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Schritt 7.4

Schreibe $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Schritt 7.5

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ um.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Schritt 7.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Schritt 7.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| v |$ .

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Schritt 7.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Schritt 7.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Schritt 7.5.4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.5.4.1

Schreibe die Gleichung als $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ um.

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Schritt 7.5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ durch $e^{C + t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ durch $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Schritt 7.5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{C + t}$ .

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Schritt 7.5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Schritt 7.5.4.2.2.1.2

Dividiere $| v |$ durch $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Schritt 7.5.4.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Schritt 8

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Schritt 8.2

Schreibe $e^{t + C}$ als $e^{t} e^{C}$ um.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Schritt 8.3

Stelle $e^{t}$ und $e^{C}$ um.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Schritt 9

Ersetze alle $v$ durch $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Schritt 10.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 10.2.1

Zerlege $\ln (e^{x - t})$ durch Herausziehen von $x - t$ aus dem Logarithmus.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Schritt 10.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $x - t$ mit $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Schritt 10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Schritt 10.4

Addiere $t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Schritt 11

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 11.1

Stelle die Terme um.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Schritt 11.2

Schreibe $e^{t + C}$ als $e^{t} e^{C}$ um.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Schritt 11.3

Stelle $e^{t}$ und $e^{C}$ um.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$