Analysis Beispiele

$\frac{d F}{d x} = 4 e^{x} + 5 x^{2}$ , $F (0) = - 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d F = (4 e^{x} + 5 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d F = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$F + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$F + C_{1} = 4 e^{x} + 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$F + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$F + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $- 4$ für $F$ in $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ ersetzt wird.

$- 4 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$ um.

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Schritt 4.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 4$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4 + K = - 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4 + K = - 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 4 - 4$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$K = - 8$

Schritt 5

Setze $- 8$ für $K$ in $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 8$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} - 8$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{3}$ .

$F = \frac{5 x^{3}}{3} + 4 e^{x} - 8$