Analysis Beispiele

$2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Schritt 1.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

Schritt 2.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x = - 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x = - 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x y$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 1 \cdot 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{2 y}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $y^{2} - x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $y^{2} - x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{2}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{y}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.5

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{y}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Multipliziere $(- y - x) (y - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.1.1.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.3.3.1.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1.3.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.1.8

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.2

Subtrahiere $x y$ von $y x$ .

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Schritt 12.1.1.3.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.3

Addiere $- y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Schritt 13.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$