Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 1 - y |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Addiere $\ln (| x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $\ln (| 1 - y |)$ durch $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 3.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln (| 1 - y |) = - C - \ln (| x |)$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 - y |) + \ln (| x |) = - C$

Schritt 3.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y | | x |) = - C$

Schritt 3.6

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (1 - y) x |) = - C$

Schritt 3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 x - y x |) = - C$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| x - y x |) = - C$

Schritt 3.9

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| x - y x |)} = e^{- C}$

Schritt 3.10

Schreibe $\ln (| x - y x |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - y x |$

Schritt 3.11

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.11.1

Schreibe die Gleichung als $| x - y x | = e^{- C}$ um.

$| x - y x | = e^{- C}$

Schritt 3.11.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - y x = \pm e^{- C}$

Schritt 3.11.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

Schritt 3.11.4

Teile jeden Ausdruck in $- y x = \pm e^{- C} - x$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 3.11.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y x = \pm e^{- C} - x$ durch $- x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 3.11.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.11.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 3.11.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.11.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 3.11.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 3.11.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.11.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Schritt 3.11.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 3.11.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.11.4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 3.11.4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{x} + 1$