Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 4)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(e^{x} + 4)}^{2}$ als $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ um.

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 4) (e^{x} + 4) d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 4) + 4 (e^{x} + 4) d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 (e^{x} + 4) d x$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 \cdot e^{x} + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 e^{x} + 16 d x$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $4 e^{x}$ und $4 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Schritt 2.3.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 \int e^{x} d x + \int 16 d x$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + \int 16 d x$

Schritt 2.3.9

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + 16 x + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Schritt 2.3.12

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + K$