Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{3} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = x^{3} + K$ ersetzt wird.

$5 = 0^{3} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $0^{3} + K = 5$ um.

$0^{3} + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache $0^{3} + K$ .

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + K = 5$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 5$

Schritt 5

Setze $5$ für $K$ in $y = x^{3} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $5$ .

$y = x^{3} + 5$