Analysis Beispiele

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y e^{x}$ nach $y$ gleich $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $2 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y + e^{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y + e^{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

Schritt 5.3

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{x} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $y e^{x} + 2 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $y e^{x}$ von $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $2 e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

Schritt 10.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ um.

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$