Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + 2 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Schritt 1.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Schritt 1.5

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Schritt 1.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 y + 0$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y) + 2 (0)$ heraus.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Schritt 4.3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Schritt 4.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Schritt 4.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 0}{y}$

Schritt 4.3.3

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{y}{y}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int d x}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2} + 2 x$ mit $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 y$ mit $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 2 y e^{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $2 e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 e^{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{x} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $y^{2} e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $y^{2} e^{x}$ von $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Schritt 13.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Schritt 13.10

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 13.11

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Schritt 13.12

Vereinfache.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Schritt 15.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

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Schritt 15.2.1

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Schritt 15.2.2

Addiere $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ und $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Schritt 15.2.3

Subtrahiere $2 e^{x}$ von $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Schritt 15.2.4

Addiere $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Schritt 15.3

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ um.

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$