Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{x}{x + 2} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $x$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Schritt 2.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Schritt 2.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Schritt 2.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Schritt 2.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Schritt 2.3.7

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.7.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.3.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.7.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x + 2 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 2 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ um.

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ durch ${(x + 2)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ durch ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$