Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + x + e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.4.2

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

Schritt 2.4.3

Addiere $2 y + 1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $2 y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y + 1 = 2 y + 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.2.2

Da $\frac{1}{3} x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Addiere $0$ und $2 x y$ .

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $x + e^{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

Schritt 9.1.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $0$ und $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $e^{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$