Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{9}{1 + x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{9}{1 + x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{9}{1 + x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{9}{1 + x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 9 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = 9 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$y + C_{1} = 9 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$