Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 2 t y + 3 y - 4 t - 6$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d t} = (2 t y + 3 y) - 4 t - 6$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d t} = y (2 t + 3) - 2 (2 t + 3)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 t + 3$ .

$\frac{d y}{d t} = (2 t + 3) (y - 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((2 t + 3) (y - 2))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y - 2$ aus $(2 t + 3) (y - 2)$ heraus.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (2 t + 3))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (2 t + 3))$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = 2 t + 3$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 2} d y = (2 t + 3) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int 2 t + 3 d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 2$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 t + 3 d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 t + 3 d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int 2 t + 3 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int 2 t d t + \int 3 d t$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 \int t d t + \int 3 d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 3 d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 3 t + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 3 t + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = t^{2} + 3 t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 2 |) = t^{2} + 3 t + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - 2 |)} = e^{t^{2} + 3 t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y - 2 |) = t^{2} + 3 t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{t^{2} + 3 t + C} = | y - 2 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 2 | = e^{t^{2} + 3 t + C}$ um.

$| y - 2 | = e^{t^{2} + 3 t + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm e^{t^{2} + 3 t + C}$

Schritt 3.3.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{t^{2} + 3 t + C} + 2$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{t^{2} + 3 t + C}$ als $e^{t^{2} + 3 t} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{t^{2} + 3 t} e^{C} + 2$

Schritt 4.2

Stelle $e^{t^{2} + 3 t}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{t^{2} + 3 t} + 2$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{t^{2} + 3 t} + 2$