Analysis Beispiele

$x d y - (y d) x = 0$

Schritt 1

Ersetze $yd$ durch $y d$ .

$x d y - (y d x) = 0$

Schritt 2

Addiere $y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x d y = y d x$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 5.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 6.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Schritt 6.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 6.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Schritt 6.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} | x |$

Schritt 6.5.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{C}$

Schritt 6.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Schritt 7

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | x | C$

Schritt 7.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x |$