Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 4 x \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Schritt 2.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Schritt 2.3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 2.3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 2.3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

Schritt 2.3.6.2

Schreibe $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ als $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

Schritt 2.3.6.3

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$