Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{11}{x} y = 3 x^{2}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{11}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{11}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{11}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $11$ aus dem Integral.

$e^{11 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{11 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{11 \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{11 \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{11})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{11}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{11}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{11}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{11} (\frac{11}{x} y) = x^{11} (3 x^{2})$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{11}{x}$ und $y$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{11} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{11}$ heraus.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{10} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{10} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{10} (11 y) = x^{11} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = x^{11} (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{11} x^{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere $x^{11}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 (x^{2} x^{11})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{2 + 11}$

Schritt 2.4.3

Addiere $2$ und $11$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{13}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{11} y] = 3 x^{13}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{11} y] d x = \int 3 x^{13} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x^{11} y = \int 3 x^{13} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x^{11} y = 3 \int x^{13} d x$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{13}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{14} x^{14}$ .

$x^{11} y = 3 (\frac{1}{14} x^{14} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{14} x^{14} + C)$ als $3 (\frac{1}{14}) x^{14} + C$ um.

$x^{11} y = 3 (\frac{1}{14}) x^{14} + C$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{14}$ .

$x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$ durch $x^{11}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$ durch $x^{11}$ .

$\frac{x^{11} y}{x^{11}} = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{11}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{11} y}{x^{11}} = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{14}$ und $x^{11}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{11}$ aus $\frac{3}{14} x^{14}$ heraus.

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11} \cdot 1} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11} \cdot 1} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{3}{14} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{3}{14} x^{3}$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{14} x^{3} + \frac{C}{x^{11}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{3}{14}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{3 x^{3}}{14} + \frac{C}{x^{11}}$