Analysis Beispiele

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ um.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Stelle $e^{t}$ und $\cos (2 t)$ um.

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Schritt 6.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (2 t)$ und $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Schritt 6.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Schritt 6.5.2

Stelle $e^{t}$ und $\sin (2 t)$ um.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Schritt 6.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (2 t)$ und $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Schritt 6.7

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Schritt 6.8

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Schritt 6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Schritt 6.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Schritt 6.9

Wenn nach $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Schritt 6.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.10.1

Schreibe $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ als $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ um.

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Schritt 6.10.2

Vereinfache.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ durch $e^{t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ durch $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $q$ durch $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ durch $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.3

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.4

Multipliziere $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

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Schritt 7.3.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $1$ für $q$ in $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ um.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.2.6

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.3

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Schritt 9.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Schritt 9.2.1.4.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $\frac{4}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Schritt 9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Schritt 9.3.4

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Schritt 10

Setze $\frac{1}{5}$ für $C$ in $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Schritt 10.2.2

Kombinieren.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$