Analysis Beispiele

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $y x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{x^{2}}{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $1 + y$ aus $x^{2} (1 + y)$ heraus.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Schritt 1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Stelle $1$ und $y$ um.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Dividiere $y$ durch $y + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Schritt 2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Schritt 2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.6

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.6.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.6.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.9

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$