Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{14 x y}{\ln^{10} (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = 14 x \frac{y}{\ln^{10} (y)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{\ln^{10} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{10} (y)}{y} (14 x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 \frac{\ln^{10} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $14$ und $\frac{\ln^{10} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{10} (y)})$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{y}{\ln^{10} (y)}$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{10} (y)}$

Schritt 1.3.4

Kombinieren.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y) (x y)}{y \ln^{10} (y)}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln^{10} (y)$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 \ln^{10} (y) (x y)}{y \ln^{10} (y)}$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 (x y)}{y}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{14 (x y)}{y}$

Schritt 1.3.6.2

Dividiere $14 (x)$ durch $1$ .

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 (x)$

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 14 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{\ln^{10} (y)}{y} d y = 14 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{\ln^{10} (y)}{y} d y = \int 14 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \ln (y)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{y} d y$ , folglich $y d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \ln (y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{10} d u = \int 14 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{10}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C_{1} = \int 14 x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (y)$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \int 14 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $14 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $14 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 14 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $14$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{14}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = \frac{7}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) + C_{1} = 7 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{11} \ln^{11} (y) = 7 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $11$ .

$11 (\frac{1}{11} \ln^{11} (y)) = 11 (7 x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $11 (\frac{1}{11} \ln^{11} (y))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $\ln^{11} (y)$ .

$11 \frac{\ln^{11} (y)}{11} = 11 (7 x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$11 \frac{\ln^{11} (y)}{11} = 11 (7 x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{11} (y) = 11 (7 x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $11 (7 x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln^{11} (y) = 11 (7 x^{2}) + 11 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $11$ .

$\ln^{11} (y) = 77 x^{2} + 11 K$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\ln (y) = \sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}$

Schritt 3.3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\ln (y) = \sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}} = y$

Schritt 3.3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$ um.

$y = e^{\sqrt[11]{77 x^{2} + 11 K}}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $11$ aus $77 x^{2} + 11 K$ heraus.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $11$ aus $77 x^{2}$ heraus.

$y = e^{\sqrt[11]{11 (7 x^{2}) + 11 K}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Faktorisiere $11$ aus $11 (7 x^{2}) + 11 K$ heraus.

$y = e^{\sqrt[11]{11 (7 x^{2} + K)}}$